[수학 (상)] 2.5. 이차방정식의 해, 근의 공식, 판별식

[목차]

1. 이차방정식의 풀이

2. 이차방정식의 근의 공식

3. 이차방정식의 판별식 

 

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1. 이차방정식의 풀이

 이차방정식은 최고차항의 차수가 2인 방정식, 즉, x²항, x항, 상수항으로 이루어진 방정식입니다. 일반적인 방정식의 형태는 ax²＋bx＋c＝0으로 나타낼 수 있습니다. 등식이 인수분해가 되어 있다면, 식을 전개하였을 때의 최고차항의 차수를 기준으로 이차방정식, 삼차방정식, 고차방정식 등으로 구분됩니다. 

[이차방정식의 해(근)]

 중학교 과정에서 이차방정식의 해는 서로 다른 2개의 근, 1개(중근), 해가 없다의 3가지로 구분되었습니다. 이것은 "실수 범위"에서 해의 개수를 말하는데요. "복소수 범위"로 확장한다면 이차방정식의 해는 중근을 포함하여 항상 2개의 해를 갖습니다. 즉, 이차방정식의 해가 없다 라는 것은 "실수 범위"에서 해가 없는 것을 의미하고, "복소수 범위"에서는 해가 복소수인 허근이라는 해를 갖습니다.

 아래 글은 복소수에 관한 글입니다.

[고등 수학/수학 (상)] - [수학 (상)] 2.2. 허수와 복소수

[수학 (상)] 2.2. 허수와 복소수

 

 정리하자면, 계수가 모두 실수인 이차방정식은 복소수 범위에서 항상 2개의 근을 가지게 됩니다. 이때, 근이 실수라면 실근, 근이 허수라면 허근이라고 합니다. 따라서 이차방정식의 해는 서로 다른 2개의 실근, 서로 같은 두 실근(중근), 서로 다른 2개의 허근으로 구분됩니다. 

 서로 다른 2개의 허근이 나오는 경우, 두 해(허근)는 항상 서로 복소수와 켤레복소수의 관계를 가지기 때문에 서로 "같은" 2개의 허근이 나오는 경우는 없습니다.

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 이차방정식을 푸는 방법(해를 구하는 방법)은 기본적으로 두 가지 방법이 있습니다.

• 인수분해를 이용한 풀이
• 완전제곱식을 이용한 풀이

 인수분해와 완전제곱식을 만드는 방법은 이전에 작성한 글을 참고하면 좋습니다.

[고등 수학/수학 (상)] - [수학 (상)] 1.8. 인수분해와 인수분해 공식

[수학 (상)] 1.8. 인수분해와 인수분해 공식

 

[인수분해를 이용한 풀이]

인수분해를 통해 이차방정식을 풀기 위해 아래와 같은 성질을 이용합니다.

 이차방정식을 인수분해하면 두 인수가 나오게 되는데, 하나의 인수를 A, 나머지 하나의 인수를 B라고 보고 위 성질을 이용하면 해를 구할 수 있습니다. 즉, A＝0에서 하나, B＝0에서 하나, 총 2개의 해를 구할 수 있습니다.

 이 방법을 사용하기 위해선 등식에서 좌변이나 우변 중 하나는 0을 만들어주어야 합니다. 따라서 좌변이나 우변에 항이 있다면 한쪽으로 몰아서 이항시킨 후, 인수분해하여 해를 구합니다.

 인수분해를 이용한 풀이는 이차방정식 뿐만 아니라 그 이상의 고차방정식에서도 기본적으로 사용되는 방법입니다. 방정식을 인수분해할 수 있다면 해를 빠르게 찾을 수 있지만, 인수분해하기 어렵거나 손으로는 하지 못하는 경우에는 이 방법을 이용하기 어렵습니다. 이때는 완전제곱식을 이용하거나 근의 공식을 이용하여 해를 구할 수 있습니다.

[완전제곱식을 이용한 풀이]

 완전제곱식을 통해 이차방정식을 풀기 위해서는 아래와 같은 성질을 이용합니다.

 이 성질은 제곱근의 성질로 이전에 간단하게 설명한 적이 있습니다.

[고등 수학/수학 (상)] - [수학 (상)] 2.1. 복소수를 배우기 전의 사전 지식 - 거듭제곱, 제곱근과 루트, 수의 체계

[수학 (상)] 2.1. 복소수를 배우기 전의 사전 지식 - 거듭제곱, 제곱근과 루트, 수의 체계

 

 완전제곱식을 이용한 풀이는 방정식이 인수분해를 하기 쉽지 않을 때 이용합니다. 이 방법은 등식을 완전제곱 꼴로 바꾸고, 상수항을 이항시킨 후, 제곱근의 성질을 이용하여 해를 구하는 과정으로 진행됩니다. 여기서 제곱근의 성질을 이용하면 ＋,－가 붙는 2개의 제곱근이 나오게 되므로, 해도 2개가 나오게 됩니다. 

 위에서 링크를 걸어둔 글에서는 x²의 계수가 1일 때 완전제곱식으로 바꾸는 과정을 해봤으니, 이번에는 계수가 1이 아닌 방정식 2x²＋6x＋5＝0을 완전제곱식으로 바꾸어 해를 구해보겠습니다.

 이차방정식에서 각 항의 계수를 a, b, c의 문자로 두어 위 과정을 진행하고 정리한 것이 바로 근의 공식입니다. 근의 공식 유도는 아래에 이어지는 글에서 진행하겠습니다.

 

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2. 이차방정식의 근의 공식

 많이 알려진 근의 공식은 이차방정식의 계수만을 가지고 2개의 해를 찾는 방법입니다. 이차방정식 ax²＋bx＋c＝0에서 근의 공식을 적용하면 다음과 같습니다.

 이 공식을 통해 나온 해는 실근을 가질 수 있지만, 허근도 가질 수도 있습니다. 이는 근의 공식에 있는 루트 때문인데요. 공식에 따라 루트 안에 숫자를 넣어 계산했는데 음수가 나오면, 복소수의 정의에 의해 허수가 나오고 해도 허근을 갖게 됩니다. 

 위에서 예시를 들었던 식 2x²＋6x＋5＝0의 해를 근의 공식을 통해 구하면 동일한 해를 구할 수 있는 것을 알 수 있습니다.

 만약 이차방정식에서 x항의 계수가 짝수인 경우 아래와 같은 공식을 적용할 수 있습니다.

 원래의 공식을 사용해도 동일한 해를 구할 수 있지만, 약분하는 과정이 줄어들어 더 빠르게 해를 정리할 수 있습니다. 물론 홀수일 때도 적용할 수 있지만, 분자에 분수 꼴로 나와 이를 계산하는데 시간이 더 걸리게 됩니다. 그래서 x의 항이 홀수인 경우에는 원래의 근의 공식을, 짝수인 경우에는  짝수의 근의 공식을 이용하면 계산 시간을 줄일 수 있습니다.

[근의 공식 유도]

 근의 공식은 이차방정식을 완전제곱꼴로 바꾸고 x에 대한 해를 구하는 것으로 유도할 수 있습니다.

 짝수의 근의 공식 또한 마찬가지 방법으로 유도할 수 있습니다.

 

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3. 이차방정식의 판별식

 근의 공식에서 루트 안의 숫자가 양수인지, 0인지, 음수인지에 따라 실근, 중근, 허근이 나오게 되는데요. 근의 공식에서 루트 안에 있는 식을 판별식이라고 하고 기호로 D라고 씁니다. 짝수의 근의 공식인 경우에도 루트 안의 식을 판별식이라고 할 수 있습니다.

 숫자를 대입한 판별식이 양수인 경우에는 루트 안의 숫자가 양수라는 것을 의미하고, 해는 실수임을 나타냅니다. 반대로 판별식이 음수인 경우에는 루트 안의 숫자가 음수라는 것을 의미하고, 복소수의 정의에 의해 허수단위 i가 포함되어 해는 허근이 나오게 됩니다. 또한, 판별식이 0으로 나오는 경우에는 근의 공식에서 루트 앞에 있는 ＋,－에 의해 해가 두 개로 나뉘었던 것이 없어져 서로 "같은" 해인 중근이 나오게 됩니다.

 앞에서 해가 허근이 나온다면 두 해가 서로 복소수와 켤레복소수의 관계를 갖는 서로 다른 두 허근이 나온다고 했었습니다. 허수단위인 i는 루트 안에 숫자가 음수이기 때문에 나오게 되는데, 근의 공식에서 보면 루트 앞에 ＋,－가 있는 것을 볼 수 있습니다. 판별식이 음수라면, 루트 안의 숫자가 음수라는 것을 의미하고, 이에 따라 허수단위 i가 나오게 되는데, 근에 공식에서 i가 붙은 부분에는 항상 ＋,－도 붙게 되므로, 해는 복소수와 켤레복소수의 관계를 갖는 서로 "다른" 두 허근을 갖게 됩니다. 따라서 서로 "같은" 허근인 경우는 이차방정식의 계수가 허수가 아닌 이상 없다는 것을 알 수 있습니다.