[수학 (상)] 2.3. 복소수의 연산

[목차]

1. 허수단위 i 의 거듭제곱

2. 복소수의 사칙연산

3. 켤레복소수의 성질 

 이전 포스팅에서는 복소수에 대해서 알아보았습니다. 이전 내용에 이어지니 복소수에 대한 글을 링크해두겠습니다.

[고등 수학/수학 (상)] - [수학 (상)] 2.2. 허수와 복소수

[수학 (상)] 2.2. 허수와 복소수

 이번에는 복소수끼리는 어떻게 연산되는지와 몇 가지 성질에 대해서 알아보겠습니다.

 

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1. 허수단위 i 의 거듭제곱

  허수단위 i 를 거듭제곱하다 보면 어느 순간 일정한 수가 규칙적으로 반복되는 것을 확인할 수 있습니다. 정의에 의해서 i 를 제곱하면 －1이 나오고, 여기에 다시 i 를 곱하면 －i , 여기에 또 i 를 곱하면 (－i )×i ＝－(－1)＝1이 나옵니다. 즉, i 를 거듭제곱을 하면 i , －1, －i , 1이 반복적으로 나오게 됩니다.

 이를 일반화하여 i 의 차수가 크더라도 빠르게 알아낼 수 있습니다.

 위에서 알 수 있듯, i 는 4번의 거듭제곱마다 반복됩니다. 이는 "차수가 a인 i "와 "a를 4로 나눈 나머지 R이 차수인 i "는 같다는 것을 의미합니다. 예를 들어 차수가 95인 i 가 있다고 했을 때, 95를 4로 나눈 나머지 R＝3이므로 i 의 95제곱＝i 의 3제곱임을 알 수 있습니다.

 

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2. 복소수의 사칙연산

 1) 복소수의 덧셈과 뺄셈

 이전 글에서 알아보았듯, 복소수는 실수부와 허수부로 나누어져 있습니다. 기본적으로 허수단위 i 로 인해서 실수부와 허수부는 서로 더하거나 뺄 수 없습니다. 다항식에서 문자가 있는 항과 상수항끼리 덧셈과 뺄셈을 통해 합칠 수 없는 것과 비슷합니다. 따라서 복소수끼리 더하거나 뺄 때는 실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 계산합니다.

 

 2) 복소수의 곱셈

 복소수끼리 곱할 때는 다항식의 곱셈과 같이 i 를 문자로 보고 분배법칙을 적용하면 됩니다. 다항식의 곱셈과는 달리, 분배법칙을 통해 전개를 한 후 i 의 거듭제곱이 있다면 풀어서 실수부와 허수부로 나눠줍니다.

 다항식의 곱셈과 동일하게 분배법칙을 사용하시기 때문에 복소수끼리도 곱셈 공식을 적용할 수 있습니다.

[고등 수학/수학 (상)] - [수학 (상)] 1.4. 곱셈 공식

[수학 (상)] 1.4. 곱셈 공식

 

 3) 복소수의 나눗셈

 만약 허수가 분모에 있어서 실수부와 허수부로 나눌 수 없다면, 분모에 있는 허수를 실수로 바꿔주어야 합니다. 여기서는 분모의 유리화를 하는 방법과 비슷한 방법을 사용합니다. 분모의 유리화는 분모에 루트와 같은 무리수가 있을 때, 분모와 같은 수를 분자와 분자에 각각 곱해주어 분모를 유리수로 고쳐주는 방법입니다.

 복소수 범위에서는 분모에 허수가 있다면, 분모에 대한 켤레복소수를 분자와 분모에 각각 곱해주는 방법을 사용합니다. 아래에서 설명할 켤레복소수의 성질 중 하나를 미리 알아보자면, 복소수와 그의 켤레복소수를 곱하면 항상 실수가 나오게 됩니다. 이를 이용해 분모를 실수로 만들어 주어, 결과적으로 실수부와 허수부를 나눌수 있게 됩니다.

 만약 분모에 순허수가 있는 경우에는 더욱 간단한 방법으로 분자와 분모에 i 만 곱해주고 정리해줍니다. 여기서 알아두면 좋은 것은, 1÷i ＝－i  라는 것입니다.

 복소수의 연산은 허수단위 i 의 거듭제곱이 있으면 풀고, 연산하여, 최종적으로 실수부와 허수부로 나눠주는 것을 배우는 것이 목적입니다.

 

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3. 켤레복소수의 성질

  켤레복소수는 아래와 같은 성질을 가지고 있습니다.

• 복소수와 그의 켤레복소수의 합과 곱은 항상 실수이다.
• 복소수 z가 실수이면, z와 z의 켤레복소수는 서로 같다.
• 복소수 z가 순허수이면, 켤레복소수 z＝－z이다.
• 복소수의 연산을 이용한 켤레복소수의 연산

 

 이제 각 성질에 대한 식과 간단한 예시를 들면서 하나씩 확인해 보겠습니다.

 1) 복소수와 그의 켤레복소수의 합과 곱은 항상 실수이다.

 2) 복소수 z가 실수이면, z와 z의 켤레복소수는 서로 같다.

 여기서 복소수가 실수라는 것은 허수항이 0 임을 의미합니다.

 3) 복소수 z가 순허수이면, z＝－(z의 켤레복소수)이다.

 2번 성질과는 반대로, 복소수가 순허수라는 것은 실수항이 0 임을 의미합니다. 

 4) 복소수의 연산을 이용한 켤레복소수의 연산

 두 복소수 s＝a+bi , t＝c＋di 가 있다고 할 때, 켤레복소수와 관련된 연산을 통해 아래와 같은 4가지 특징을 보여줍니다.  

 증명이 필요 없는 내용이긴 하지만, 여러 항이 있는 식에 대한 켤레복소수가 어떻게 계산되는지 참고하실 분들을 위해 담았습니다. 

 

 켤레복소수의 성질은 복소수의 연산을 하다 보면 자동적으로 익히게 되는 내용입니다. 다만, 1번에서 복소수와 켤레복소수의 곱은 실수라는 내용은 중요한 내용이므로, 이 부분은 알아두시면 좋습니다. 

 

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 여기까지 복소수에 대한 기본적인 개념과 연산을 알아보았는데요. 방정식과 부등식 단원에서 갑자기 왜 복소수가 나오냐 하실 수 있습니다. 복소수는 방정식을 풀다가 나온 개념인 만큼 방정식과 깊게 연관되어 있습니다.

 이차방정식이나 그 이상의 방정식의 해를 구할 때, 어떠한 식은 해가 존재하지 않는 경우도 있습니다. 방정식의 해가 없다는 것은 실수 범위에서 보았을 경우인데요. 복소수 범위로 확장되면 이차방정식이나 고차방정식은 어떠한 경우에도 항상 해를 갖게 됩니다. 이처럼 방정식의 해와 관련된 개념을 설명하기 위해서는, 가상의 수인 복소수 개념이 필요하기 때문에 방정식과 부등식 단원에서 가장 먼저 배우게 된 것입니다.