[목차]
1. 인수분해
인수분해란 하나의 다항식을 여러개의 다항식의 곱의 형태로 분해하는 것을 말합니다. 인수분해를 통해 곱의 형태로 이루어진 각각의 다항식을 인수라고 합니다. 또한 식이 아니여도 곱의 형태를 이루고 있다면 곱을 이루는 각각을 모두 인수라고 할 수 있습니다.
분배법칙이 하나의 인수를 곱하고 전개하여 하나의 식을 만드는 것이라면, 인수분해는 하나의 다항식을 공통 인수로 묶는 것입니다. 즉, 분배법칙를 반대로 한 과정이 인수분해입니다. 여기서 공통 인수는 숫자가 될수도 있고, 단항식이나 다항식이 될 수 있습니다.
하나의 인수가 주어졌을 때는 다항식의 나눗셈과 같은 방법으로 인수분해를 할 수 있지만, 주어진 식만 보고 "이렇게 묶으면 되지 않을까?" 해도 묶이지 않아 시행착오를 겪은 경험이 있을 겁니다. 정확한 풀이를 하기 위해서는 인수를 먼저 정해야 하는데, 식이 복잡해질수록 적절한 인수를 정하기 어려워지기도 합니다. 따라서 주어진 식을 보고 판단하여 적절한 방법을 정해야 합니다.
인수분해를 하는 방법은 크게 4가지 방법으로 구분할 수 있습니다.
- 인수분해 공식을 이용 (곱셈 공식을 이용한 인수분해)
- 치환을 이용한 인수분해
- 인수 정리를 이용한 인수분해
- 여러 문자를 포함한 인수분해
위 방법들을 이용하여 더 이상 분해할 수 없을 때까지 진행하면 됩니다. 인수분해는 다항식을 변형하는 방법을 연습하는 과정이며, 여러 형태의 다항식을 풀어보며 반복학습을 하다 보면, 식이 주어졌을 때 어떤 형태로 바뀌는지 감을 잡을 수 있습니다. 이번 글에서는 인수분해 공식을 이용한 방법에 대해서 알아보겠습니다.
2. 인수분해 공식 (곱셈 공식을 이용한 인수분해)
인수분해 공식은 곱셈 공식과 동일하다고 볼 수 있습니다. 차이점은 곱셈 공식은 인수끼리 곱해진 식을 분배법칙을 이용하여 전개한 것이라면, 인수분해 공식은 전개된 식을 인수의 곱으로 나타낸 것입니다. 따라서 인수분해 공식을 다른 말로 한다면, 곱셈 공식을 이용한 인수분해라고 할 수도 있습니다. 아래 식들은 이전에 포스팅한 곱셈 공식을 인수분해 공식의 형태로 바꾼 것입니다.
[기본 공식]
[다항식의 곱셈 공식]
공식의 증명은 곱셈 공식과 동일하므로 참고하실 분들을 위해 이전에 정리한 링크를 걸어두겠습니다.
[고등 수학/수학 (상)] - [수학 (상)] 1.4. 곱셈 공식
[수학 (상)] 1.4. 곱셈 공식
[목차] 1. 곱셈 공식 정리 2. 공식에 대해서 3. 곱셈 공식 증명 이 글을 찾아오시는 분의 대부분은 공식을 보기 위해서 오실 것으로 생각됩니다. 저도 가끔 찾아보기도 하고요. 그래서 곱셈 공식은
cufeinde.tistory.com
곱셈 공식을 이용하여 인수분해를 하는 방법은 가장 먼저 주어진 식을 어떤 공식에 적용해야 하는지 판단해야 합니다. 여기서 어떤 공식에 적용할지 판단하기 위해서 식의 차수, 부호, 형태를 보는 것이 중요합니다. 물론 이 방법을 사용하려면 공식을 숙지하고 있어야 적용할 수 있겠죠?
이제 몇 가지 공식을 이용하여 간단한 풀이를 해보겠습니다.
이처럼 주어진 식의 최고차항의 차수가 2차인지 3차인지, 각 항의 부호가 ＋인지 －인지, 항의 개수가 몇 개인지 확인하여 어떤 공식에 가장 비슷한지 판단하여, 공식의 형태에 맞게 식을 변형하여 적용할 수 있습니다.
다항식을 숫자가 다른 두 개의 다항식으로 인수분해할 때, x²의 계수가 1인 경우 다음과 같은 순서로 분해할 수 있는 방법도 있습니다.
3. 인수분해와 완전제곱식
먼저 완전제곱식은 무엇일까요? 완전제곱식은 최고차항의 차수가 2인 이차다항식을 일차 다항식의 제곱 형태로 표현한 식을 말합니다. 즉, 이차다항식을 기본공식 1번, 2번과 같은 형태로 나타낸 것입니다. 주어진 식에 따라 다항식의 제곱으로만 나올 수 있고, 상수항이 더해진 형태로 나타날 수 있습니다.
같은 식이더라도 인수분해처럼 표현할 수 있고, 완전제곱식 형태로 표현할 수 있습니다. 두 가지는 표현법만 다를 뿐 동일한 식이고, 완전제곱식은 결국 인수분해 형태 중 하나라는 것입니다.
두 표현법은 식을 통해서 무엇을 찾고 싶은지가 다르기 때문에 형태에 차이가 있습니다. 즉, 표현을 다르게 하여, 구하고자 하는 것을 직관적으로 문제를 풀 수 있습니다.
- 인수분해: 방정식을 만족하는 해인 x의 값을 구할 때 주로 이용
- 완전제곱식: 방정식을 만족하는 그래프의 특징을 파악할 때 사용 (이차방정식일 때만 적용)
어떤 형태로 표현할지는 실제 문제에서 요구하는 조건에 따라 달라질 수 있습니다. 이에 대한 자세한 내용은 다음 단원에서 자세히 다루기 때문에, 이번 파트에서는 인수분해를 이용해서 이렇게 표현할 수도 있구나 정도로 간단하게만 참고하시면 됩니다.
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