[수학 (상)] 1.9. 여러 가지 방법의 인수분해

[목차]

1. 치환을 이용한 인수분해

2. 인수 정리를 이용한 인수분해

3. 여러 문자가 포함된 인수분해 

 

 이전 인수분해에 개념에 이어, 이번에는 공식에 적용하지 못하는 다항식을 어떻게 인수분해를 해야 하는지 몇 가지 방법을 이용하여 알아보도록 하겠습니다. 이번 글의 목적은 다항식을 공식에 적용할 수 있도록 변형하는 것을 익히는데 목적이 있으므로, 공식과 관련한 내용을 쓴 링크를 걸어두겠습니다.

[고등 수학/수학 (상)] - [수학 (상)] 1.8. 인수분해와 인수분해 공식

[수학 (상)] 1.8. 인수분해와 인수분해 공식

 

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1. 치환을 이용한 인수분해

 먼저 치환에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 치환은 단항식이나 다항식을 하나의 문자로 묶어서 표현하는 수학적 테크닉입니다. 식이 복잡한 경우 똑같은 형태의 항이 보인다면, 그 항을 한 문자로 표현해서 식을 간단하게 보기 위해 사용합니다.

 치환을 할 때 사용한 문자는 본인이 좋아하는 문자 무엇이든 사용해도 좋으나, 주의할 점은 원래의 식에 있는 문자를 사용하면 헷갈리거나 실수할 수 있기 때문에 원래의 식에 없는 문자로 사용해야 합니다. 또한, 치환한 문자는 임의로 정한 문자이기 때문에 계산이 끝나면 치환한 문자를 다시 바꿔주어야 합니다. 이를 환원이라고 합니다.

 참고로 저는 수학 문제에서 치환할 때 주로 t, s, r를 사용하거나 α, β, γ 같은 그리스 문자를 주로 사용합니다. 

 치환을 이용하면 문제를 풀면서 어떤 공식을 사용할지 눈에 띄게 확인할 수 있습니다. 아래는 t를 치환 문자로 사용한 예제입니다.

 치환을 이용한 인수분해의 예제를 하나 더 풀어보도록 하겠습니다. 여기서는 t와 s의 두 개의 문자를 사용하여 치환을 한 예제입니다. 

 인수분해가 잘 되었는지 확인하려면 분해한 식을 다시 전개하여 원래의 식이 나오는지 확인하시면 됩니다.

 

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2. 인수 정리를 이용한 인수분해

 인수 정리는 다항식을 일차식으로 나눴을 때 나누어 떨어진다면, 그 일차식은 다항식의 인수라는 것을 말하며, 아래 링크를 참고하면 자세한 내용을 알 수 있습니다.

[고등 수학/수학 (상)] - [수학 (상)] 1.7. 나머지 정리, 인수 정리, 조립제법

[수학 (상)] 1.7. 나머지 정리, 인수 정리, 조립제법

 

 인수 정리에서 다룬 내용 중에 아래와 같은 개념이 있습니다.

 위와 같은 형태가 바로 인수분해가 된 형태이며, 여기서 Q는 몫을 의미하고 조립제법을 통해 구할 수 있습니다. 조립제법 또한 위의 링크에서 자세한 과정을 다루고 있습니다.

 보통 인수가 알려지지 않았을 때, 인수 정리를 이용한 인수분해를 하기 위해서는 우선 주어진 다항식에 어떤 숫자를 넣어야 다항식이 0이 되는지 알아야합니다. 즉, f(a)＝0을 만족시키는 a를 알아야 합니다. a를 구하는 다양한 방법이 있겠지만, 저는 보통 먼저 1을 넣어보고 식이 0이 안되면 2를 넣어보고, 3, 4도 넣어보며 식이 0이 되는지 확인하며, 안되면 -1, -2, -3과 같이 음수도 넣어보고, 숫자가 너무 커져 계산이 복잡해지면 1/2, 3/2까지만 넣어 보면서 다항식이 0이 되는지 확인해봅니다. 이렇게 하기 위해선 숫자를 대입한 식을 빠르게 계산하는 게 중요합니다.

 보통 고등 수학에서는 이 방법을 이용해야만 할 때는 경험상 대입해야 하는 숫자가 크지 않으며, 분수 형태가 나오더라도 1/2나 3/2 정도까지만 나오지, 그 이상은 다른 방법을 사용해야 합니다. 그럼에도 이 방법을 사용하는 이유는 작은 숫자를 대입했을 때 식이 0이 되면, Q를 찾는 게 빠르기 때문입니다. 물론 사람마다 다르겠지만, 저는 인수분해하면 이 방법을 가장 먼저 사용합니다.

 위 예제에서 Q를 찾기 위해서 위에서 설명했던 것과 같이 f(x)를 x－2로 나누는 경우로 보고 조립제법을 사용해도 되지만, 저는 계수비교법을 주로 사용합니다.(익숙해지면 빠르니까요!) 

 계수비교법은 아래 링크에서 자세히 다루고 있습니다.

[고등 수학/수학 (상)] - [수학 (상)] 1.6. 미정계수법

[수학 (상)] 1.6. 미정계수법

 

 이제 위 예제를 통해 제가 보는 시선에서 인수분해를 하는 과정을 알려드리겠습니다. 참고로 인수분해를 하는데 어떤 방법이 맞다는 건 없습니다. 어떤 방법이든 편한 방법으로 정확히 하는 것이 중요합니다.

 간단하게 과정을 요약하면 아래와 같습니다.

f(a)＝0을 만족시키는 a 찾기 → 최고차항의 차수와 계수 맞추기 → 상수항 맞추기 → 가운데 항 맞추기

 

 아래 과정은 인수 정리와 계수비교법을 활용한 방법입니다. 글로 보면 복잡해 보이지만 양변의 숫자를 보고 비교하면서 계산하는 과정일 뿐, 익숙해지면 빠르게 적용할 수 있는 방법입니다.

 

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3. 여러 문자가 포함된 인수분해

 주어진 식에 문자가 여러 개가 있으면 식이 복잡해 보이지만, 차수를 정리하면 충분히 인수분해를 할 수 있습니다. 이 경우에는 아래와 같은 순서로 진행됩니다.

[Step 1] 문자 중 차수가 작은 문자에 대해 내림차순으로 정리 (차수가 동일하면 하나를 기준으로 내림차순)

[Step 2] 묶을 수 있는 문자가 보이면 묶어보기 (문제마다 굉장히 난해할 수 있기 때문에 시행착오가 필요)

[Step 3] 공식, 치환 등 앞에서 다룬 방법들을 모두 활용하여 식을 정리

 

아래 예제를 통해 적용해보겠습니다.

 이처럼 여러 문자가 섞인 복잡한 식이라도 차근차근 정리하다 보면 충분히 인수분해를 할 수 있습니다. 

 인수분해와 관련된 방법은 모두 각각의 방법이 아닌 공식을 기준으로 모든 방법을 활용하여 인수분해를 해야 어떤 문제가 나오더라도 원활하게 풀 수 있습니다.