[목차]
1. 방정식과 항등식
책에서 항등식에 대해서 배울 때 항상 방정식과 구분해서 다른 점을 설명합니다. 그만큼 방정식과 항등식이 비슷해 보여서 헷갈리기 때문인데요, 우선 책에서는 어떻게 설명하는지 알아보겠습니다.
| 용어 | 설명 |
| 방정식 | 주어진 식의 문자에 특정한 값을 대입하였을 때에 성립하는 등식 |
| 항등식 | 주어진 식의 문자에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하는 등식 |
음... 한번에 이해하기는 힘드네요. 조금 더 쉽게 생각해보죠.
| 용어 | 설명 |
| 방정식 | 문자에 특정한 값을 대입해야만 성립하는 식 |
| 항등식 | 식을 전개했을 때, 좌변과 우변이 같은 식 (좌변) = (우변) |
이해하는데 조금 도움이 됐을까요?
간단하게 식에서 보면, 방정식과 항등식의 차이는 좌변이나 우변을 한쪽으로 이항시키고 정리했을 때, (등식) = 0 이 되면 방정식, 0 = 0 이 되면 항정식이라고 할 수 있습니다.
방정식은 좌변이나 우변을 한 쪽으로 이항시켰을 때, 문자가 지워지지 않고 식으로 남아있다는 것을 의미하고, 항등식은 좌변과 우변이 같은 식이기 때문에, 한 쪽으로 이항시켰을 때 모든 문자와 숫자가 지워져 0이 되는 것을 의미합니다.
참고로 이항을 시켰는데 숫자만 남은 경우에는 식이 성립하지 것을 의미합니다.
예를 들어 1 = 0이다 라고 하면 말이 안 되겠죠?
이제 예시를 보면서 방정식과 항등식에 대해서 비교해보도록 하겠습니다. 위와 같은 과정으로 식이 남으면 방정식, 0이 남으면 항등식 입니다.
차수가 더 높은 식으로 비교해 보겠습니다.
교제들을 보면 항등식은 x의 값에 상관없이 항상 성립하는 등식이라고 설명되어 있습니다. 항등식은 이항을 시키기 전의 원래의 식을 말하고, x의 값에 상관없이 성립한다면 x에 대한 항등식이라고 합니다. 위 과정대로 한다면 최종적으로 0 = 0이 나오니 x가 무슨 값이 되든 상관없다는 것! 이제 이해하시겠죠?
참고로 각각의 예시의 방정식을 보면 좌변은 식이 남고, 우변은 0으로 남는 형태로 나오는 것을 확인하실 수 있습니다. 여기서 좌변 식의 최고차항의 차수가 1이면 일차방정식, 최고차항의 차수가 2이면 이차방정식이라고 부릅니다. 이런 방정식에 대해선 추후 과정으로 자세히 나오므로, 이번 글에서는 방정식과 항등식을 구분하는 것에만 초점을 맞추시면 되겠습니다.
2. 항등식의 성질
보통 문제가 나오면 "다음 등식에서 x에 대한 항등식이 되도록 만드는 a, b, c를 찾으시오."와 같이 나오는데, 이것을 쉽게 풀면 "a, b, c에 어떤 숫자를 넣어야 좌변과 우변이 똑같아질까요?" 라고 해석하면 됩니다.
결론적으로 항등식의 성질을 요약하면, "우변을 좌변으로 이항하고 동류항끼리 모았을 때 항등식이 되려면, 계수와 상수항이 모두 0이어야 한다." 입니다. 순서는 모두 다음과 같이 동일합니다.
[Step 1] 우변을 좌변으로 이항시키기
[Step 2] 동류항끼리 모으기
[Step 3] 계수와 상수항을 0으로 만들기
예를 들어 설명해보겠습니다.
위 식에서 우변이 0이므로 좌변도 0이 되어야 합니다. 만약 식이 항등식이라면, x에 어떤 숫자를 넣어도 좌변이 0이 되어야 합니다. 수학의 개념에서 어떠한 숫자나 문자에 0을 곱하면 항상 0이 된다는 것을 알고 계실 겁니다.
따라서 x와 곱해진 계수 a가 0이라면, x에는 어떤 수가 들어가도 0과 곱해져서 항상 0이 됩니다. 상수항인 b는 자동적으로 0이 됩니다.
마찬가지 방법으로 다음 식에서 우변을 좌변으로 이항시키고 동류항끼리 모아, x의 계수와 상수항이 0이 되는 a와 b를 찾아보겠습니다.
최고차항의 차수가 높은 경우, 문자가 x, y의 두 개가 있을 경우 모두 동일하게 진행하면 됩니다.
[최고차항의 차수가 2일 때]
[문자가 x, y 두 개가 있을 때]
3. 연습문제
웬만한 문제는 시간을 들여 전개하여 하나씩 비교하면 충분히 풀 수 있기 때문에 생각이 조금 필요한 문제를 가져왔습니다.
| 연습 문제 | 다항식 A에 대하여 등식 x⁴－sx³＋tx²＝(x－1)(x＋2)A－x－6이 x에 대한 항등식일 때, 상수 s, t와 다항식 A를 구하시오. |
| 풀이 | 문제에서 A는 다항식인 것을 기억해두어야 합니다. 즉, A는 a가 될 수도 있고, ax＋b, 그 이상의 차수를 가진 다항식이 될 수 있습니다. 양변이 항등식임을 만족하기 위해서는 가장 먼저 좌변과 우변의 최고차항의 차수를 맞춰주어야 합니다. 문제에서 좌변의 최고차항의 차수는 4이기 때문에 우변의 최고차항의 차수도 4이어야 합니다. 우변의 (x－1)(x＋2) = x²＋x－2 이고, 식을 다시 정리하면 다음과 같습니다. x⁴－sx³＋tx²＝(x²＋x－2)A－x－6 여기서 우변에서 보이는 최고차항의 차수는 2이기 때문에 차수를 4로 맞춰주기 위해서는 다항식 A에 차수가 2인 항이 포함되어야 합니다. 즉, 다항식 A의 최고차항의 차수는 2이고, 계수와 상수항이 얼마인지 모르기 때문에 A는 다음과 같은 형태를 갖습니다. A＝ax²＋bx＋c 이를 위 식에 대입해주면 다음과 같이 정리할 수 있습니다. x⁴－sx³＋tx²＝(x²＋x－2)(ax²＋bx＋c)－x－6 우변의 식을 전개하고, 동류항끼리 모으면 다음과 같습니다. x⁴－sx³＋tx²＝ax⁴＋(a＋b)x³＋(c＋b－2a)x²＋(c－2b－1)x＋(－2c－6) 이제 우변을 좌변으로 이항시키고 동류항끼리 모으면 다음과 같습니다. (1－a)x⁴＋(－s－a－b)x³＋(t－c－b＋2a)x²＋(－c＋2b＋1)x＋(2c＋6)＝0 x와 관련된 항의 계수를 0으로 만들어야 합니다. 계수 안에 미지수가 많은 항도 있으므로, 미지수가 적은 항부터 먼저 계산합니다.. 여기서는 x⁴ 항과 상수항을 먼저 보겠습니다. 1－a＝0 → a＝1 2c＋6＝0 → c＝－3 이를 위 식에 대입하면 다음과 같습니다. (1－1)x⁴＋(－s－1－b)x³＋(t－(－3)－b＋2(1))x²＋(－(－3)＋2b＋1)x＋(2(－3)＋6)＝0 → (－s－b－1)x³＋(t－b＋5)x²＋(2b＋4)x＝0 마찬가지로 미지수가 적은 x항을 통해 b를 계산하고 대입합니다. 2b＋4＝0 → b＝-2 (－s－(－2)－1)x³＋(t－(－2)＋5)x²＋(2(－2)＋4)x＝0 →(－s＋1)x³＋(t＋7)x²＝0 동일한 방법을 통해 s와 t를 구할 수 있습니다. －s＋1＝0 → s＝1 t＋7＝0 → t＝-7 위 결과를 통해 문제에서 요구하는 상수 s, t와 다항식 A를 정리하면 다음과 같습니다. 답: s＝1 t＝-7 A＝x²－2x－3 |
또 다른 문제 유형으로 "x, y의 값에 관계없이 (다항식 1) / (다항식 2) 이 항상 일정한 값을 가질 때"로 시작하는 문제가 있는데, 등호"＝"가 없기 때문에 당황할 수 있습니다. 이 문제 유형에서는 항상 일정한 값을 미지수 k로 두고 시작해야 합니다. 즉, (다항식 1) / (다항식 2) = k로 두고, (다항식 1) = k (다항식 2) 형태로 바꾼 다음 위와 같은 과정을 진행하면 됩니다.
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